【摘要】概率論是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，它的一些原理和知識(shí)普遍應(yīng)用于生活的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，如生活中的抓鬮問題、福利彩票的中獎(jiǎng)問題、賭博時(shí)賭注的合理分配問題等.基于對(duì)這些問題的認(rèn)識(shí)，文章從概率論的角度出發(fā)，結(jié)合具體的事例，對(duì)生活中的概率問題進(jìn)行了探討.

　　【關(guān)鍵詞】概率論;條件概率;古典概型;貝葉斯公式;數(shù)學(xué)期望

　　概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門重要的數(shù)學(xué)分支，它源于生活，也用于生活.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及計(jì)算機(jī)的普及，概率論不僅被廣泛用于各行各業(yè)，為分析社會(huì)現(xiàn)象、研究自然科學(xué)、處理公共事業(yè)提供了極大的幫助，在生活中也發(fā)揮著越來越廣泛的作用.事實(shí)證明，生活中處處存在著概率，而且生活中的概率問題往往讓我們意想不到.那么怎樣學(xué)會(huì)運(yùn)用概率知識(shí)來解決生活中的簡單實(shí)際問題呢?下面結(jié)合本人多年的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劯怕收撛谏钪械囊恍┖唵螒?yīng)用.

　　一、彩票問題

　　雙色球彩票是中國福利彩票的一種，開獎(jiǎng)規(guī)則是從33個(gè)紅色球中選6個(gè)再加上從16個(gè)藍(lán)色球中選1個(gè)，一共7個(gè)數(shù)字組成一注.開獎(jiǎng)后按號(hào)碼重合個(gè)數(shù)決定獎(jiǎng)金等級(jí)，這其中是不論順序的，號(hào)碼對(duì)了即可.獎(jiǎng)金等級(jí)分為一、二、三、四、五、六等獎(jiǎng)：一等獎(jiǎng) 6紅1藍(lán)，浮動(dòng)獎(jiǎng)金;二等獎(jiǎng)6紅0藍(lán)，浮動(dòng)獎(jiǎng)金;三等獎(jiǎng)5紅1藍(lán)，3000元;四等獎(jiǎng)5紅0藍(lán)或4紅1藍(lán)，200元;五等獎(jiǎng)4紅0藍(lán)或3紅1藍(lán)，10元;六等獎(jiǎng)0紅1藍(lán)或2紅1藍(lán)或1紅1藍(lán)，5元.浮動(dòng)獎(jiǎng)金是根據(jù)當(dāng)期的銷售情況來定的，如2010年一、二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金平均值分別為696萬元、23.4萬元.

　　根據(jù)上表容易算出雙色球的總中獎(jiǎng)率P≈0.067，說明100人各買一注的話，約有6人會(huì)中獎(jiǎng).由于中五等獎(jiǎng)的概率為7.76×10-3<0.01，故中五等獎(jiǎng)是一個(gè)小概率事件，根據(jù)小概率事件原理知道，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中一般不會(huì)發(fā)生，只有在大量實(shí)驗(yàn)后方可發(fā)生.所以一般情況下你買的少量幾注彩票是不會(huì)中獎(jiǎng)的.

　　那么當(dāng)你拿出2元買一注彩票時(shí)，你獲利的期望值是多少呢?下面以2010年的浮動(dòng)獎(jiǎng)金計(jì)算如下：

　　5.64×10-8×6960000+8.46×10-7×234000+9.14×10-6×3000+4.34×10-4×200+7.76×10-3×10+5.89×10-2×5+(1-0.067)×(-2)≈-0.789.

　　即買一注彩票獲利的期望值為 -0.789元，說明我們每買一注雙色球彩票平均損失0.789元，買得越多越逃不出這個(gè)宿命，所以福彩中心永遠(yuǎn)是贏家.如果三、四、五、六等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金不變，要想獲利期望值為零，也就是不賺不虧，那么一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要定位為16251600元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要為546390元.而福彩中心已經(jīng)明文規(guī)定一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金不超過一千萬，這樣才會(huì)保住他們募集福利資金的宗旨.

　　二、抓鬮問題

　　在生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些抓鬮、抽簽的問題，有人會(huì)想到先抽者有利，正所謂“先下手為強(qiáng)”，但是真的是這樣嗎? 下面我們先解決如下問題.

　　例1 n個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得到一張電影票，他們依次摸彩，求第k(k≤n)個(gè)人摸到電影票的概率.

　　分析 這是一個(gè)條件概率問題，第k個(gè)人摸到，說明前(k-1)個(gè)人都沒有摸到，第二人摸時(shí)是在第一人沒摸到的條件下進(jìn)行的，同樣第三人摸時(shí)是在第一和第二人同時(shí)沒摸到的條件下進(jìn)行的，以此類推.

　　解 令A(yù)i=“第i個(gè)人摸到票”，i=1，2，3，…，(k-1)，k，第k個(gè)人摸到，說明前(k-1)個(gè)人都沒有摸到，故第k人摸到的概率為

　　P[ZK(]=P(A1A2…Ak-1Ak)=[ZK(]P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)…

　　P(Ak-1A1A2…Ak-2)P(AkA1A2…Ak-1)[ZK)]=n-1n×n-2n-1×n-3n-2×…×n-(k-1)n-(k-2)×1n-(k-1)=1n，[ZK)]

　　可見每個(gè)人摸到電影票的概率都是一樣的，與摸的順序無關(guān).

　　一般地，有下列結(jié)論：若n個(gè)簽中有m(1

　　三、生日問題

　　例2 著名生日問題：從一個(gè)較大的人群中隨機(jī)地選取n(n≤365)個(gè)人，求其中至少有兩個(gè)人的生日相同的概率.

　　分析 兩人的生日相同是指兩人出生于一年內(nèi)的同一天，如果排除主觀因素，認(rèn)為生產(chǎn)是自然現(xiàn)象，即每個(gè)孩子在哪天出生都是等可能的，本題是一個(gè)古典概型問題.

　　解 設(shè)A=“n人中至少有兩人生日相同”，則A-=“n人中沒有兩人生日相同”，假定一年以365天計(jì)算，一個(gè)人的生日可以是365天中的任一天，即有365種情況，故n 個(gè)人的生日情況包含365n個(gè)基本事件.

　　n個(gè)人中沒有兩人同一天生日，就相當(dāng)于從365天中任意選出n天的排列，即含Cn365·n!個(gè)基本事件，故有

　　P(A-)=Cn365·n!365n=365!365n(365-n)!，

　　所以

　　P(A)=1-P(A-)=1-365!365n(365-n)!.

　　當(dāng)n較大時(shí)，上式計(jì)算量很大，下表列出一些具體數(shù)值：

　　從上表容易看出，一個(gè)有50個(gè)學(xué)生組成的班集體，至少有兩人生日相同的可能性竟然高達(dá)97%，這是難以想象的.

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