摘 要：數(shù)學(xué)源自于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，早期古希臘、古巴比倫、古埃及、古印度及中國(guó)古代都對(duì)數(shù)學(xué)有所研究。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學(xué)。透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性。文章發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》上，是研究生論文發(fā)表范文，供同行參考。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)開放題;開放題的研究;

　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué).分為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué).它在科學(xué)發(fā)展和現(xiàn)代生活生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具.近年來(lái)，數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)具有時(shí)代特色的數(shù)學(xué)教育改革的亮點(diǎn)，已日益引起我國(guó)數(shù)學(xué)教育界的注意，逐漸形成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)。1998年的全國(guó)高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題里“開放題”居然也堂皇入室。

　　傳統(tǒng)的教師中心“遺傳”基因，直到今天依然存在，而且嚴(yán)重地影響著數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念，影響著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。

　　數(shù)學(xué)開放題有利于學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)問(wèn)題作出解釋，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，獲得認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和重組。由于數(shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)了學(xué)生獲得解答的過(guò)程，體現(xiàn)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的真正主體地位，從而極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，是克服“灌輸式”教學(xué)傾向的解藥。因此，對(duì)廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，主動(dòng)接受建構(gòu)主義教學(xué)理論的指導(dǎo)，構(gòu)建中國(guó)式的數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)模式是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的一種有效途徑。

　　一、何謂開放題?

　　(1)開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的問(wèn)題。 (2)開放題并不是普通的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是為了達(dá)到一定的教育目的而精心編制設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

　　一道數(shù)學(xué)題的開放性(開放度)在很大程度上取決于這道題采用何種設(shè)問(wèn)方式。即使是一道傳統(tǒng)的封閉性數(shù)學(xué)題，也可以通過(guò)改變其設(shè)問(wèn)方式而將其改編為具有開放性的習(xí)題。要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索是一種“開放性的解題要求”，通常使用“試盡可能多地……”一類的詞語(yǔ)來(lái)提出，它對(duì)學(xué)生具有“鼓勵(lì)參與，激勵(lì)優(yōu)化，追 求卓越”的作用。

　　二、為何研究開放題

　　目前人們普遍認(rèn)為素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，而開放題教學(xué)是推進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)和突破口。開放題給學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供了寬松、自由的環(huán)境，它的作用體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

　　1、開放題的教育作用：

　　① 發(fā)散性 學(xué)生必須打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進(jìn)行探討，其思維方向和模式的發(fā)散性有利于創(chuàng)造性能力的形成。

　　② 探索性 因?yàn)殚_放題易使學(xué)生形成原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，學(xué)生必須通過(guò)順應(yīng)來(lái)主動(dòng)建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因而有利于培養(yǎng)他們的探索意識(shí)和創(chuàng)新精神。

　　③ 趣味性 開放題獨(dú)特的敘述方式、寬松的解題環(huán)境和極富挑戰(zhàn)性的解題策略，為學(xué)生在迫切要求下進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和好勝心，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，對(duì)數(shù)學(xué)探索產(chǎn)生濃厚興趣。

　　④ 多樣性 在開放題教學(xué)中，既要有學(xué)生獨(dú)立思考的個(gè)體活動(dòng)，還需有師生之間、學(xué)生之間的合作、討論、交流的群體活動(dòng)。開放題答案的多樣性，使得其最終的解決只靠個(gè)人的力量在有限的時(shí)間內(nèi)難以完成，需要依靠集體的智慧和群體的力量。

　　基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見.從那時(shí)開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅度的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，隨著其幾何學(xué)與我國(guó)算術(shù)的結(jié)合形成解析幾何，并發(fā)展出更加精微的微積分，因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識(shí)的加速，直至今日.

　　2、開放題的轉(zhuǎn)化作用：

　　開放題的出現(xiàn)以及對(duì)其教育功能的肯定，一方面反映了人們數(shù)學(xué)教育觀念的轉(zhuǎn)變;另一方面適應(yīng)了飛速發(fā)展的時(shí)代的需要。實(shí)際上反映了人們對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)新模式的追求，是人們站在新時(shí)代歷史的高度上對(duì)數(shù)學(xué)教育改革的新探索。

　　觀念轉(zhuǎn)變的原因：

　　a.當(dāng)技術(shù)的發(fā)展已使社會(huì)數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到開放社會(huì)的各個(gè)方面的時(shí)候，我們不應(yīng)滿足于陳舊的、封閉的教學(xué)方法。

　　b.數(shù)學(xué)不能僅僅理解為一門演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)還有其更重要的一面，即它是一門非邏輯的、生動(dòng)的、有豐富創(chuàng)造力的科學(xué)。

　　c.數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生創(chuàng)新活動(dòng)的過(guò)程，僅僅靠教師的傳授，不能使學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)知識(shí)。

　　d.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是教學(xué)認(rèn)知的主體，沒(méi)有學(xué)生的積極參與就沒(méi)有名副其實(shí)的教學(xué)活動(dòng)，教師的作用主要體現(xiàn)在他是教學(xué)活動(dòng)的組織者、指導(dǎo)者和鼓勵(lì)者。

　　三、開放題的特點(diǎn)

　　① 問(wèn)題的條件常常是不完備的;

　　② 問(wèn)題的答案是不確定的，具有層次性。

　　今日，數(shù)學(xué)被使用在世界不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等.數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展.數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo).雖然許多以純數(shù)學(xué)開始的研究，但之后會(huì)發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用.

　　四、開放題的分類

　　(1)設(shè)計(jì)條件的開放 傳統(tǒng)的答題模式多數(shù)是條件與結(jié)論——對(duì)應(yīng)的定式訓(xùn)練，解題時(shí)不必考慮條件的由來(lái)。然而現(xiàn)實(shí)生活中人們得到的信息對(duì)于某個(gè)具體問(wèn)題而言絕大多數(shù)是無(wú)用的，必須善于從大量信息中篩選出有用的信息。因此有意設(shè)計(jì)一些條件過(guò)剩或不足的開放題會(huì)更好地完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。若設(shè)計(jì)成求一個(gè)三角形面積(單位：分米)，則效果不大一樣。

　　(2)設(shè)計(jì)結(jié)論的開放 這類題的條件和問(wèn)題都很明確，而結(jié)論卻不惟一，具有發(fā)散性和多面性。例如：將“如一把木塊平均分成三塊完全一樣的長(zhǎng)方體后表面積增加了多少(單位：厘米)”的常規(guī)題去掉圖中虛線，則成結(jié)論開放題。

　　五、開放題的功能

　　美國(guó)加里福尼亞教育部指出了開放性問(wèn)題的五個(gè)功能：

　　1、開放性問(wèn)題為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的數(shù)學(xué)觀念來(lái)表達(dá)的機(jī)會(huì)，這和他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)展是一致的。

　　2、開放性的問(wèn)題要求學(xué)生構(gòu)建他們自己的反映而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。

　　3、開放性問(wèn)題允許學(xué)生表達(dá)他們對(duì)問(wèn)題的深層次的理解，這在多項(xiàng)選擇中是無(wú)法做到的。

　　六、開放題的教育價(jià)值觀

　　開放題作為一種具有特殊形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，與一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題一樣,也具有知識(shí)教育價(jià)值。開放題最突出的、人們談?wù)撟疃嗟氖牵核欣谂囵B(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)造能力。這也是開放題教育價(jià)值最核心的內(nèi)容和最主要的體現(xiàn)。目前人們普遍認(rèn)為素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，而開放題教學(xué)是推進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切 入點(diǎn)和突破口。這從一個(gè)側(cè)面反映了開放題在培養(yǎng)創(chuàng)造能力方面所具有的巨大教育價(jià)值。

　　從結(jié)構(gòu)形式上看，開放題具有組成要素的非完備性和解題答案的不確定性;從解答過(guò)程和解題策略看，開放題具有發(fā)散性、探究性、層次性、發(fā)展性、創(chuàng)新性等特性。開放題的特性決定了開放題教學(xué)的開放性，因而在這種教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生是以知識(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者的身份出現(xiàn)，學(xué)生不再是“裝”數(shù)學(xué)，而是“搞”數(shù)學(xué)，這就可以使他們?cè)谝欢ǔ潭壬先ンw驗(yàn)數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的活動(dòng)過(guò)程，深切領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，有利于形成正確的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)的靈魂——思想方法，為今后的學(xué)習(xí)以及成人后用數(shù)學(xué)的思想方法、思維方式來(lái)解決問(wèn)題做準(zhǔn)備。

　　創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國(guó)的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論.結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng).布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域，格……)、序結(jié)構(gòu)(偏序，全序……)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù)……).

　　開放題在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立學(xué)習(xí)的自信心，凸現(xiàn)學(xué)生的主體意識(shí)，形成獨(dú)立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質(zhì)，培養(yǎng)群體意識(shí)和合作精神，增強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，培養(yǎng)探索意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，形成正確的科學(xué)態(tài)度等方面，具有極大的優(yōu)勢(shì)。可見開放題的人文教育價(jià)值也很大。

　　結(jié)束語(yǔ)

　　數(shù)學(xué)開放題不應(yīng)該排斥傳統(tǒng)教學(xué)，它是傳統(tǒng)教學(xué)的一種補(bǔ)充。通過(guò)教學(xué)開放題實(shí)踐體會(huì)到：數(shù)學(xué)開放題只是為學(xué)生高層次思維的發(fā)展提供了一種可能性;數(shù)學(xué)開放題對(duì)學(xué)生的要求很高，不僅要求學(xué)生有較高認(rèn)知水平，還要有較強(qiáng)的主動(dòng)參與意識(shí)，才能有開放的氣氛;在教學(xué)過(guò)程中，不僅要求教師能放開，還要求教師收得回來(lái)，這樣才能收放自如。只有在教學(xué)實(shí)踐中逐步摸索經(jīng)驗(yàn)，才能真正有效地體現(xiàn)數(shù)學(xué)開放題的教育價(jià)值。

　　研究生論文發(fā)表期刊須知：《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》雜志是由東北師范大學(xué)主管，吉林省數(shù)學(xué)會(huì)與東北師范大學(xué)出版社聯(lián)合主辦的省級(jí)優(yōu)秀數(shù)學(xué)類期刊雜志。雜志經(jīng)新聞出版總署批準(zhǔn)，全國(guó)發(fā)行。國(guó)內(nèi)刊號(hào)：CN22-1217/O1。雜志為國(guó)內(nèi)為數(shù)不多的數(shù)學(xué)類研究專刊，為國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)類優(yōu)秀刊物。《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》雜志，是一本吉林省的數(shù)學(xué)類的專業(yè)學(xué)術(shù)期刊。雜志涵蓋數(shù)學(xué)研究最豐富的學(xué)術(shù)資源。